Một tiếp tuyến, một dây cung, và một đường thẳng cắt đường tròn

Quan niệm trực quan rằng một đường tiếp tuyến "chạm vào" một đường cong có thể được làm rõ hơn bằng cách xem xét trình tự các đường thẳng đi qua hai điểm, A và B, những đường nằm trên đường tròn. Tiếp tuyến tại A là giới hạn khi điểm B xấp xỉ hoặc có xu hướng tiến tới A. Sự tồn tại và độc nhất của đường tiếp tuyến phụ thuộc vào một độ trơn toán học nhất định, gọi là "tính khả vi". Ví dụ, nếu hai vòng cung tròn gặp nhau tại một điểm nhọn (đỉnh) thì không có một tiếp tuyến được xác định duy nhất ở đỉnh nhọn bởi vì giới hạn của các đường AB phụ thuộc vào hướng mà điểm "B" tiếp cận đỉnh nhọn.

Ở mỗi điểm, đường tiếp tuyến di chuyển luôn tiếp xúc với đường cong. Độ dốc của nó là đạo hàm; Dấu hiệu màu xanh lá cây là đạo hàm dương, màu đỏ là đạo hàm âm và màu đen là điểm đạo hàm bằng 0. Điểm (x, y) = (0,1) trong đó đường tiếp tuyến cắt đường cong, không phải là cực đại hoặc cực tiểu, mà là điểm uốn của đường cong.

Ở hầu hết các điểm, tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong mà không cắt qua nó (mặc dù nó có thể, khi tiếp tục, cắt đường cong ở những nơi khác cách xa tiếp điểm). Một điểm mà đường tiếp tuyến (tại thời điểm đó) cắt qua đường cong được gọi là điểm uốn. Đường tròn, parabol, hyperbol và hình bầu dục không có điểm uốn, nhưng các đường cong phức tạp hơn, như đồ thị của một hàm bậc ba, có đúng một điểm uốn, hoặc một đường sinusoid, có hai điểm uốn cho mỗi giai đoạn của sine.

Ngược lại, đường cong có thể nằm hoàn toàn ở một bên của một đường thẳng đi qua một điểm trên nó, và đường thẳng này không phải là một tiếp tuyến. Ví dụ trường hợp đối với một đường đi qua đỉnh của một tam giác và không cắt tam giác - và đường tiếp tuyến không tồn tại vì những lý do được giải thích ở trên. Trong hình học lồi, các đường như vậy được gọi là đường hỗ trợ.